1.泰勒公式求极限（等价无穷小）

1.1 泰勒公式

1.泰勒公式

$f(x) = \frac{1}{0!}f({x_0})+\frac{1}{1!}f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f^{''}(x_0)(x-x_0)^2+…+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+R_n(x)$

2.麦克劳林公式

令，则泰勒公式也叫麦克劳林公式。

$f(x) = \frac{1}{0!}f(0)+\frac{1}{1!}f^{'}(0)x+…+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+o(x^n)=f(0)+f^{'}(0)x+…+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+o(x^n)$

1.2 推导泰勒公式

1.2.1 推导的泰勒公式

$\begin{aligned} sinx &= sin0+(sin0)^{'}x+\frac{1}{2}(sin0)^{''}x^2+…+\frac{1}{n!}(sin0)^{(n)}x^n+o(x^n) \\ &=sin0+xcos0-\frac{1}{2}x^2sin0-\frac{1}{6}x^3cos0+\frac{1}{24}x^4sin0+\frac{1}{120}x^5cos0+…+o(x^{n})\\ &=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\frac{1}{9!}x^9…+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+1}) \end{aligned}$

1.2.2 推导的泰勒公式

$\begin{aligned} cosx &= cos0+(cos0)^{'}x+\frac{1}{2}(cos0)^{''}x^2+…+\frac{1}{n!}(cos0)^{(n)}x^n+o(x^n) \\ &=cos0-xsin0-\frac{1}{2}x^2cos0+\frac{1}{6}x^3sin0+\frac{1}{24}x^4cos0-\frac{1}{120}x^5sin0+…+o(x^{n})\\ &=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\frac{1}{8!}x^8…+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n}) \end{aligned}$

1.2.3 推导的泰勒公式

$\begin{aligned} tanx &= tan0+(tan0)^{'}x+\frac{1}{2}(tan0)^{''}x^2+…+\frac{1}{n!}(tan0)^{(n)}x^n+o(x^n) \\ &=tan0+xsec^20+\frac{1}{2}x^2(2sec^20tan0)+\frac{1}{6}x^3(4sec^20tan^20+2sec^40)+…+o(x^{n})\\ &=x+\frac{1}{3}x^3…+o(x^n) \end{aligned}$

1.2.4 推导的泰勒公式

$\begin{aligned} e^x &= e^0+(e^0)^{'}x+\frac{1}{2}(e^0)^{''}x^2+\frac{1}{6}(e^0)^{'''}x^3+…+\frac{1}{n!}(e^0)^{(n)}x^{n}+o(x^n)\\ &=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+…+\frac{1}{n!}x^n+o(x^n) \end{aligned}$

1.3 常用的泰勒公式

$\begin{aligned} &sinx = x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+o(x^5)\\ &cosx = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + o(x^4)\\ &tanx = x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &arcsinx = x + \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ &arctanx = x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &ln(1+x) = x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\\ &e^x = 1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\\ &(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+o(x^2) \end{aligned}$

1.4 常见的等价无穷小

$\begin{aligned} &sinx\sim x\\ &tanx\sim x\\ &arcsinx\sim x\\ &arctanx\sim{x}\\ &ln(1+x)\sim{x}\\ &e^x-1\sim{x}\\ &1-cosx\sim{\frac{1}{2}x^2}\\ &(1+x)^a-1\sim{ax}\\ &x-ln(1+x)\sim{\frac{1}{2}x^2}\\ &sinx-x \sim{-\frac{1}{6}x^3}\\ &arcsinx-x \sim{\frac{1}{6}x^3}\\ &tanx-x \sim\frac{1}{3}x^3\\ &arctanx - x \sim - \frac{1}{3}x^3\\ \end{aligned}$

2.洛必达法则求极限（求导）

2.1 洛必达法则的条件

对于形如的式子，若存在，

且或，（或型）

则。

2.2 常用的导数公式

2.2.1 三角函数

$\begin{aligned} &(sinx)^{'}=cosx\\ &(cosx)^{'}=-sinx\\ &(tanx)^{'}=sec^2x\\ &(cotx)^{'}=-csc^2x\\ &(secx)^{'}=secxtanx\\ &(cscx)^{'}=-cscxcotx\\ \end{aligned}$

2.2.2 反三角函数

$\begin{aligned} &(arcsinx)^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &(arccosx)^{'}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &(arctanx)^{'}=\frac{1}{1+x^2}\\ &(arccotx)^{'}=-\frac{1}{1+x^2}\\ &(arcsecx)^{'}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1\\ &(arccscx)^{'}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1\\ \end{aligned}$

3.幂函数求极限

3.1 指数化

公式：

3.2 未定式型

公式：

或者：

4.特殊情况

4.1 无极限

不存在

需分类讨论，因为，

4.2 无穷小量

无穷小量乘以有界量等于无穷小量

例如：，

4.3 注意的极限

（等价无穷小）

（无穷小量与有界量）

4.4 左右极限

求极限时，遇到时需要考虑正负。

证明极限存在，或证明连续、可导时，需要求左右极限。

极限中含指数，一定注意求左右极限！！

例如求，需要求当和两种情况，这两种情况是不一样的。

当时，趋向于，可以分子分母同除，得到，再求极限，易得 $原式$ 。

当时，趋向于，即，即0，所以可以直接求出极限值为。

综上，左右极限不等，所以不存在极限，且为跳跃间断点。

5.总结

5.1 泰勒公式

泰勒公式中常用的是 $＝$ 时候的麦克劳林公式，这就说明题目应该是的极限趋于0这一类，既然是这一类，一般常常会和洛必达法则一起考，也就是不定式极限，但是有一些不定式求导后仍然十分复杂，这时候就要考虑用麦克劳林公式把它转换成多项式的形式。

5.2 等价无穷小

1.被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2.被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

5.3 洛必达法则

1.遇到形如的式子，且或，即或型，可考虑洛必达法则。

2.如果遇到形如的式子，观察是否且，如是，可考虑（型）

5.4 幂函数

1.如果遇到幂函数求极限，首先考虑将幂函数转换成指数形式

例如：可以转换成，求的极限即可

2.注意型，即底数极限为1，指数极限为

例如：

3.不要忘记！！！