1.利用定义求导数

导数定义

$\begin{flalign} &f^{'}(x_0)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}& \end{flalign}$

该极限为型
分子的后一项为

应用场景

被求导函数过于复杂
分段函数分段点必须用导数定义求导

2.基本导数公式

三角函数

$\begin{flalign} &(sinx)^{'}=cosx\\ &(cosx)^{'}=-sinx\\ &(tanx)^{'}=sec^2x\\ &(cotx)^{'}=-csc^2x\\ &(secx)^{'}=secxtanx\\ &(cscx)^{'}=-cscxcotx& \end{flalign}$

反三角函数

$\begin{flalign} &(arcsinx)^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &(arccosx)^{'}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &(arctanx)^{'}=\frac{1}{1+x^2}\\ &(arccotx)^{'}=-\frac{1}{1+x^2}\\ &(arcsecx)^{'}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1\\ &(arccscx)^{'}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},|x|>1& \end{flalign}$

3.复合函数求导

对和同时求导，再移项

例如对于，先求导，后移向

4.参数方程求导

分别求和，然后求

例如对于，求

求解步骤：，，

5.分段函数求导

题型1

$\begin{flalign} &f(x)=\begin{cases} \varphi_1(x), &x\neq x_0\\ \varphi_2(x), &x=x_0 \end{cases}& \end{flalign}$

当时，

当时，用导数定义求在点处的左右极限，即和

如果左极限 = 右极限，则导数存在，否则导数不存在

题型2

$\begin{flalign} &f(x)=\begin{cases} \varphi_1(x), &x< x_0\\ \varphi_2(x), &x\geq x_0 \end{cases}& \end{flalign}$

当时，

当时，求导数的左右极限，如果左极限 = 右极限，则导数存在，否则导数不存在

题型3

如果可导，求参数和的值

求解步骤：

① ，即用导数定义求出的两个极限的值相等

② ，即两个导数的极限值相等

一共会有 4 个式子，解方程即可

6.变限积分函数求导

注意负号
注意上下限